Le principe du produit en croix
Dans un tableau de proportionnalité à deux lignes et deux colonnes, les produits en diagonale sont égaux : si a/b = c/d, alors a × d = b × c. Quand on connaît trois valeurs, on trouve la quatrième en multipliant les deux valeurs de la diagonale complète, puis en divisant par la valeur restante.
Exemple : 3 kg de pommes coûtent 7,20 €. Combien coûtent 5 kg ? x = 5 × 7,20 ÷ 3 = 12 €.
La règle de trois, pas à pas
La « règle de trois » de l’école primaire passe par l’unité : 3 kg coûtent 7,20 €, donc 1 kg coûte 2,40 €, donc 5 kg coûtent 12 €. Le produit en croix fait le même calcul en une seule ligne.
- Repérez les deux grandeurs proportionnelles (masse et prix, distance et temps à vitesse constante…).
- Placez-les dans un tableau : une grandeur par ligne, une situation par colonne.
- Multipliez les deux nombres de la diagonale complète.
- Divisez par le troisième nombre : vous obtenez la valeur manquante.
Exemples d’utilisation
- Recette : pour 4 personnes il faut 250 g de farine ; pour 6 personnes, 6 × 250 ÷ 4 = 375 g.
- Échelle de carte : 1 cm représente 25 000 cm ; 7,5 cm représentent 1,875 km.
- Pourcentage : 18 bonnes réponses sur 24 correspondent à 18 × 100 ÷ 24 = 75 %, voir le calcul de pourcentage.
- Note : 13 sur 25 vaut 13 × 20 ÷ 25 = 10,4 sur 20, voir la conversion de note sur 20.
- Conversion : si 1 pouce vaut 2,54 cm, 55 pouces valent 139,7 cm, voir pouce en cm.
Quand le produit en croix ne marche pas
Il suppose une vraie proportionnalité. Le prix d’un taxi (prise en charge plus tarif au kilomètre), la surface d’un carré selon son côté, ou un tarif dégressif ne sont pas proportionnels : doubler l’un ne double pas l’autre. Dans le cas d’une proportionnalité inverse, comme le temps de travail selon le nombre d’ouvriers, on multiplie en ligne au lieu de la diagonale : 6 ouvriers pour 10 jours font 60 jours-ouvrier, donc 4 ouvriers mettent 15 jours.