Définition
La racine carrée d’un nombre positif x est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne x. √49 = 7 car 7 × 7 = 49. Elle répond à une question géométrique : quel est le côté d’un carré de surface x ? Une pièce carrée de 20 m² mesure √20 ≈ 4,47 m de côté.
Un nombre négatif n’a pas de racine carrée réelle, car un carré est toujours positif ou nul.
Simplifier une racine carrée
Pour simplifier √n, on cherche le plus grand carré parfait qui divise n. √72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2. √50 = √(25 × 2) = 5√2. √45 = 3√5. Si aucun carré parfait autre que 1 ne divise n, la racine est déjà simplifiée, comme √30.
Carrés parfaits à connaître
| n | √n | n | √n |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 121 | 11 |
| 4 | 2 | 144 | 12 |
| 9 | 3 | 169 | 13 |
| 16 | 4 | 196 | 14 |
| 25 | 5 | 225 | 15 |
| 36 | 6 | 256 | 16 |
| 49 | 7 | 400 | 20 |
| 64 | 8 | 625 | 25 |
| 81 | 9 | 900 | 30 |
| 100 | 10 | 10 000 | 100 |
Estimer une racine de tête
Encadrez le nombre entre deux carrés parfaits : 52 est entre 49 et 64, donc √52 est entre 7 et 8, plus proche de 7. Une meilleure approximation : 7 + (52 − 49) ÷ (2 × 7) ≈ 7,21 (valeur exacte 7,211). Cette méthode est celle de Héron d’Alexandrie, que les calculatrices appliquent en la répétant.
Usages pratiques
- Théorème de Pythagore : la diagonale d’une pièce de 4 m × 3 m vaut √(16 + 9) = 5 m.
- Diagonale d’écran : un écran de 16 sur 9 a une diagonale de √(16² + 9²) ≈ 18,36 unités, voir 55 pouces en cm.
- Statistiques : l’écart type est la racine carrée de la variance.